Calculo Diferencial

Derivada de una constante

   d(c) = 0

    dx

La derivada de una función f(x) en un punto x = a es el valor del límite, si existe, del cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.

Ej:

d(5) = 0

    dx

Derivada de X

   d(x) = 1

    dx

La derivada de x siempre va a equivaler a 1

Derivada de cx

   d(cx) =  c d(x) = c

    dx             dx

la derivada de una constante por x siempre va a equivales a la constante ya que al multiplicarlo por x (=1) siempre sera el mismo resultado

Ej:

d(5x) =  5 d(x) = 5

    dx             dx

Derivada de u + v+ w

   d(u + v - w) =d(u) +   d(v) -   d(w)

    dx                     dx         dx         dx 

cuando hay suma y resta en una sola derivada, smplemente hay quderivar cada uno de esos terminos

Ej:

d(6x + x - 7) =d(6x) +   d(x) -   d(7)

    dx                     dx         dx         dx 

=6d(x) +   1 -   0

    dx          dx    dx

= 7 

Derivada de X elevado a la n potencia

   d(x n) =n xn-1

    dx          dx   

 

En esta derivada que se eleva a un exponente lo unico que se tiene que hacer es multiplicar el exponente por "x" y volver a elevar al exponente pero quitandole una unidad

Ej:

   d(x2) = 2x2-1= 2x

    dx          dx 

Derivada de una variable elevado a la n potencia

   d(vn) =nv n -1 d(v)

    dx                  dx   

Para esas derivadas se tiene que multiplicar primero el exponente por la variable y volver a elevarlo a la potencia pero quitandole una unidad y multiplicarlo por la derivada de la variable

Ej:

y=(3x - 4)5

= 5 (3x - 4)5-1d(3x - 4)

                          dx

= 5(3x - 4)4 (3)

= 15(3x - 4)4

Derivada de constante sobre variable

   d(c/v) =  c   .   d(v)

    dx           v2       dx   

Para hacer una derivada de una constante sobre una variable se tiene que sacar la constante dividido entre la variable y lo elevamos al cuadrado, despues se multiplica por la derivada de la variable entre la derivada de x

Ej:

   d(6/7x) =  6   .   d(7x)

    dx             7x2       dx

    =  6   .       7

        7x2       dx

= 42

   7x2

= 6

   x2

Derivada de variable sobre constante

   d(v/c) =  1   .   d(v)

    dx            c         dx   

Para desarrollar esta derivada que es la de variable sobre constante se tiene que dividir el 1 sobre la constante que nos dan y se multiplica por la derivada de la variable y esta entre la derivada de x

Ej:

d(7x/a) =  1   .   d(7x)

    dx            a         dx

=  7

    a

Derivada de u sobre v

   d(u/v) =  v d(u)   -   u d(v)

    dx                 dx            dx

                               v2

Para este tipo de derivadas nos da dos elementos que es "u" y "v"

divididas como nos lo pone en la ecuación entonces a "v" lo vamos a multiplicar por la derivada de "u" todo esto dividido por la derivada de x menos "u" por la derivada de "v" y todo esto entre la derivada de x, y estas ecuaciones entre v2

cuando se hace todo este procedimiento en la resta hay que hacerlo mediante productos cruzados y despues dividirlo entre lo que es "v" al cuadrado para que asi se pueda hacer la ley del sandwich y llegar a nuestro resultado

Ej:

d(5x2/4x) =  4x d(5x2)   -   5x2 d(4x)

    dx                     dx                  dx

                                  3x2

  = 4x (10x) - 20x2

               3x2

40x2 - 20x2

       3x2

    = 20x2

        3x2

= 20

     3

 

Derivada de "u" por "v"

   d(u.v) =  u d(v)   +   v d(u)

    dx              dx            dx

En esta derivada tenemos que multiplicar al termino que tenemos por "u" por la derivada de "v" todo esto entre la derivada de x y sumarlo con lo que es "v" por la derivada de "u" todo dividido por la derivada de x

(para sumar hay que hacer producto cruzado al primer termino de arriba por el de abajo y luego el primer termino de abajo por el segundo termino que tenemos arriba)

Ej:

   d(7x. 5x2) =  7x d(5x2)   +  5x2 d(7x)

    dx                        dx                       dx

 

= 7x (10x) + 35x2

= 70x2 + 35x2

= 105x2

Derivada de las raiz enesima de "v"

d n√v = d(v)

              dx

          n n√ v n-1

Para la derivada que tiene una raiz a la "n" potencia ay que sacar la derivada de "v" dividirla entre la derivada de "x" y dividirla entre lo que es el exponente de la radical por la raiz enesima de "v" elevado a la potencia de la raiz menos una unidad

Ej:


d 3√3x = d(3x)

              dx

          3 3√ 3x 3-1

 =      3

        1

    3 3√ 3x 2

           1

 

=   3

3 3√ 3x 2

 

=  1

3√ 3x 2